Las ecuaciones de primer grado

Las ecuaciones son igualdades de expresiones algebraicas en la que las letras (incógnitas) tienen un valor determinado. El valor de la incógnita es la solución de la ecuación.

En este post enseñare a solucionar ecuaciones de primer grado (los componentes de la ecuación están elevados a 1).

Hay tres tipos de ecuaciones de primer grado, son:

• Simples. Aquellas ecuaciones que no tienen paréntesis ni denominador. Se resuelven con la regla de la suma (se suma las dos expresiones para  "eliminar" un término de un miembro), la del producto (se multiplica o divide las dos expresiones para  "eliminar" un término de un miembro) y la regla práctica. La regla practica consiste en pasar un componente de una expresión algebraica a la otra, pero se cambia a la inversa (de positivo a negativo, o de negativo a positivo).

Ejemplo:

4x + 6 = 44 - 14  =>  4x = 44 - 14 - 6     =>     4x = 24   =>    4x / 4 = 24 / 4   =>    x = 6

• Ecuaciones con paréntesis. Se resuelven quitando los paréntesis aplicando la propiedad distributiva. Al quitar los paréntesis se aplica la regla práctica (regla de la suma y del producto).

Ejemplo: 

4(x + 4) = 16 + 3 + 9   =>  4x + 16  =  28   =>   4x = 28 - 16   =>  4x = 12    =>    x = 3

• Ecuaciones con denominadores. Se resuelven quitando los paréntesis si tiene, se realiza el común denominador. Después, se quitan los denominadores y por ultimo, se resuelve con la regla practica.

Ejemplo:

4(x + 4) / 2 = 8 + 6  =>  4x + 16 / 2 = 16 / 2 + 12 / 2   =>  4x + 16 = 16 + 12   =>  4x = 12  =>  x = 3

El leguanje oculto de las matemáticas: el algebraico

Hasta ahora en clase habíamos visto, expresiones matemática en las que solo aparecían números y signos que nos indicaban la operación a realizar. Ejemplo:
5 + 3 - 2 = 6.

Pero ahora aparece un nuevo lenguaje matemático: el lenguaje algebraico.

Es aquel lenguaje en el que algunos números son sustituidos por letras del abecedario.

En este lenguaje, se escriben expresiones que nos ayudan a realizar operaciones matemáticas o calcular el perímetro o área de un polígono.


Expresión algebraica

Una expresión algebraica es una combinación de letras y números unidos por signos de operaciones matemáticas (suma, resta, multiplicación y división) que tiene un valor numérico, según los números determinados que sustituyan a las letras.

Ejemplo:

2x: doble de x o número par.

x + 1: posterior de un número.

x - 1: anterior de un número.

x - y: diferencia entre x e y.

x / 2: Mitad de x


Para indicar que hay una multiplicación se ponen juntos dos términos de la expresión.

•  Partes de una expresión algebraica:

- Coeficiente. Termino numérico.

- Parte literal. Letras.


Perímetro y áreas de polígonos (como ejemplos de expresión algebraica) :

P = 4 x L          A = L x L

P = 2 x b + 2 x a         A = b x a

P = 2 x Lb + 2 x La       A = b x a

P = 4 x L        A = D x d / 2

A = a x b / 2

P  = L x Nº de lados       A = P x a* / 2

(P= Perímetro, A= Área, a= Altura, L= Lado, D= Diagonal mayor, d= Diagonal menor, Lb= Lado de la base, la= Lado de la altura y a*= apotema)

¿Por qué conocemos tan pocas (casi ninguna) mujeres matemáticas a los largo de la historia?

Desde hace mucho tiempo, la sociedad no ha dejado a la mujer destacar en campos que habían sido reservados a los hombres. Especialmente en las ciencias, mujeres matemáticas, mujeres físicas y mujeres químicas han sido muy pocas. Han tenido que luchar para hacerse un hueco en esta sociedad.

La primeras mujeres matemáticas, Teano e Hipatia tenían apoyos por parte del hombre. En el caso de Teano, era la mujer de Pitágoras, y probablemente fue el primer feminista de la historia. Hipatia contaba con el apoyo de su padre, Teón. Sin embargo, fue la primer mártir de la ciencia, murió por defender sus ideas frente al fanatismo religioso. Es increible que la matasen por defender sus ideas ya que en Alejandria era una mujer respetada, gran matemática y astronóma. Su muerte provocó en Alejandría un gran revuelo.

Yo creo que ha sido debido al machismo, la mujer tenia su lugar en el cuidado de los hijos y su casa. Solamente las mujeres que tenían padres ricos preocupados por su educación les proporcionaban estudios a sus hijas. Las mujeres trabajaban en casa y se preocupaban por el matrimonio.

Con los nuevos cambio sociales empiezan a aparecer mujeres que se incorporar a trabajar y compartir las tareas en casa. Esto no ha sido de la noche a  la mañana, ha sido un gran esfuerzo de la mujer. Mujeres matemáticas se han tenido que vestir de hombres para poder asistir a reuniones en circulos cientificos como ejemplo Emilie de Breteuil, marquesa de Châtelet.

Sophie Germain tuvo que aprender matemáticas por si misma y a escondidas de su padre. Adoptó la identidad de un hombre, M. Leblanc para poder estudiar en la Escuela Politécnica de Paris, a la que solo asistísn hombres. Hubó un profesor que quiso conocer a su mejor alumno y se llevo una gran sorpresa cuando ve que era una mujer. Adoptando la identidad de M. Leblanc tuvo correspondencia con Gauss, del que se hizo amiga. Gauss se entero que era una mujer cuando intercede ante Napoleón para protegerle.

A Sofia Kovaleskaya sus padres le empapelaron las paredes de su habitación con las conferencias de un matemático ruso, las universidades rusas no dejaban entrar a mujeres y ellas se casa para poder estudiar en el extranjero. También le será dificil, en la Universidad de Berlín le dejan asistir de oyente.

En la imagen anterior aparece Marie Curie trabajando en química. Es la primera vez que los circulos científicos abren la puerta a una mujer. Se cumple justicia.

En la siguiente presentación hablo sobre una de las mujeres matématicas, Hipatia de Alejandría. Esta mujer matemática es la protagonista de una pelicula titulada "Agora", quizás por esto es más conocida.

Enlaces:

www.jaizkibel.net/tic/.../Mujeres%20Matemáticas.htm

www.cienciayagua.org/.../Catalogo%20Muj%20Mat.pdf

www.caminos.upm.es/matematicas/Fdistancia/MAIC/.../10.Biografias.pdf



¿Utilizamos bien los números decimales?

En algunas clases de nuestro instituto, concretamente de 1º de ESO, en matemáticas hemos hecho una encuesta, a nuestros familiares, le hemos pedido que nos dejen 2,5 euros.Algunos efectivamente han dado una respuesta correcta, otros no. En las siguiente presentación hago un análisis de las respuesta que han dado nuestros familiares, concretamente he cogido 152 respuesta.

Problema de fracción para romperse un poco la cabeza

Como ya sabeis, en matemáticas estamos estudiando las fracciones. Ya hicimos un post anterior sobre el concepto de fracción y otro sobre la riqueza concentrada en 1/5 de la población mundial (una de las muchas injusticias del mundo).
Ahora toca poner a prueba nuestros conocimientos pensando en un problema en el que podemos aplicar lo aprendido. Para el que piense que las fracciones no estan presentes en nuestra vida cotidiana, y que solo estan en matemáticas, he pensado este problema (quizás me he pasado y es muy largo).
Si queremos en los comentarios podemos ver los resultados.

PROBLEMA AGRÍCOLA

Un agricultor tiene un invernadero. En él, tiene sembrados 7.000 metros cuadrados de "tomate raf". Esta superficie representa 4/5 partes de la superficie de su invernadero. ¿Cuál es la superficie total?. ¿Cuantos metros cuadrados le quedan libres para cultivar calabazas?.

Pero hay un problema, no tiene abono para su cultivo. Se dirige a casa de su primo a comprarlo. Necesita 25 Kilos por cada 1/5 de terreno cultivado. ¿Cuantos kilos de abono necesitará?. Cada kilo de abono tiene un importe de 50 Euros, pero como es un familiar, le hace una rebaja del 35% en cada kilo. ¿Cual es el importe total del abono?.

Pone el abono en  3/4 partes de todo su invernadero y tarda en hacer efecto 1/4 de año. ¿Cuanto tardará en hacer efecto si lo pone en todo el terreno?

Tiene mala suerte y en el invernadero entra una plaga que destroza el 50% de la cosecha. Ha vendido 8000 kilos de tomates a 1,50 euros. ¿Cuanto ha ganado?. ¿Cuanto hubiese ganado si no hubiera perdido el 50%?. No esta contento con los resultados obtenidos. Ha sido un mal año para la agricultura.

Se entera que se van a conceder unas ayudas por parte del Ministerio del Agricultura y de la Junta de Andalucía. El Ministerio subvenciona con 3/12 de la perdida económica y la Junta de Andalucía con 4/8. Tiene que decidirse por una ayuda. ¿Qué ayuda le da más dinero?.

¿QUIÉN DIJO QUE EL MUNDO ES FELIZ?

“1/5 de la población mundial tiene las 4/5 partes de todas las riquezas”

Menuda frase. ¿Que sugiere?. En mi opinión, creo que:

• Egoísmo.
• Injusticia.
• Concentración de riqueza en manos de unos pocos.
• Hambre en el mundo.
• Enfermedades.
• Escasez de agua.
• Pobreza para muchos.
• Riqueza para unos pocos.
• Para los más solidarios necesitad de compartir.
• Muchas personas en el mundo necesitan ayuda.

¿Que porcentaje de población es rica?, ¿Que porcentaje de población es pobre?. ¿Los gobiernos que actitudes adoptan?.

Analizando matemáticamente la frase primera. Si dividimos 1 entre 5, el resultado es 0,20, y dividimos 4 entre 5 el resultado es 0,80. Lo que nos lleva a concluir que el 20% de la población mundial tiene el 80% de todas la riquezas.

Tenemos un todo que es la Tierra, se ha dividido en 5 partes, 1 parte de su población  (1/5) tiene 4 partes de su riqueza (4/5).   

Si en el mundo estamos alrededor de 6.300 millones de habitantes, unos 1.260 millones son ricos y 5.040 millones son pobres (la cifra de habitantes pobres es de pánico). La O.N.U. divulgó en el año 2.006 un documento titulado “La encrucijada de la desigualdad”, en el que analiza que el 20% de la población mundial tiene el 80% de sus riquezas.

A continuación incluyo este enlace por si alguien quiere ver este documento:
http://www.webeconomia.com/?q=reparto_desigual_de_la_riqueza_en_el_mundo

Si queremos ayudar al mundo y sentirnos solidarios no solo en Navidad sino durante todo el año, comparte con quien lo necesite, colabora con alguna ONG. Hay muchas en el mundo que se dedican a ayudar a los demas: enfermos, niños, vagabundos, etc. Por ejemplo, Médicos Sin Fronteras tiene en estos momentos una campaña de ayuda contra enfermedades en paises pobres se llaman “Pastillas contra el dolor ajeno”. Este dinero se destina a enfermos como ellos dicen “olvidados”. Son parte de esas 4/5 partes de la población mundial que tiene 1/5 de la riqueza. Podeis ver en que consiste esta campaña en:
http://www.pastillascontraeldolorajeno.com/



Se puede afirmar que existen fracciones inversas de población y distribución de riqueza:

1/5 parte de la población mundial tiene 4/5 partes de riqueza

4/5 partes de la población mundial tiene 1/5 parte de riqueza

 A continuación unas diapositivas con imagenes sobre el tema presentado, he unido distintas imagenes diferenciado la pobreza y la riqueza:

La fracción

Para comprender el concepto de fracción, primero vamos a pensar en algo cotidiano. Vamos a cenar en casa y hemos pedido una pizza, somos 4 personas. Nos llega la pizza y esta dividida en 8 porciones. Cada uno tomamos 2, y no sobra ninguna.

Trasladando esta situación en términos de fracciones. La pizza sería  8/8 y  cada persona hemos tomado 2/8.

Una fracción es una representación de la parte de un todo. Es una división de un todo en partes.

Una fracción tiene dos números, en la parte inferior, está el denominador que indica el número de partes en que está dividido ese todo. Y el numerador, situado en la parte superior, indica el número de partes que se han tomado de ese todo.

Ejemplos de fracciones en situaciones cotidianas:

Cuando en una compra de fruta, carne, pescado o queso se piden cantidades como quiero un cuarto, quiero medio kilo, o un kilo por ejemplo.

Un terreno que te ha tocado por herencia y tienes que compartir con tus hermanos o familiares, según el número de personas será 1/6, 1/8, 1/12, etc.

Una naranja que esta dividida en gajos:

Otros ejemplos de la vida cotidiana, serían los cuartos o las medias horas del reloj.


Relaciones de las fracciones con otras asignaturas:

Geografia:

Con los porcentajes de población activa, o población que se dedica a distintos sectores: agricultura, ganaderia, industria, etc.

En matemáticas, un porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción con denominador 100. Según el dibujo siguiente, un 3% de la población se dedica a la agricultura (expresado en fracción sería 3/100), un 25 % a la industria (25/100), un 13% a la construcción (13/100) y un 59% al sector servicios (59/100).

Música:

La duración de las figuras musicales o tambien la duración de los compases.

La figura redonda sería la unidad. La figura blanca sería la mitad de una redonda, es decir, 1/2, necesitamos dos figuras blancas para completar una redonda. La figura negra sería 1/4 de una redonda, es decir, necesitamos 4 negras para formar una redonda y así sucesivamente.

Ciencias Naturales

Cuando hablamos de porcentajes, en relación a los gases que componen la atmosfera, los gases que estan produciendo efectos nocivos como el ejemplo de la imagen, la ocupación del agua sobre la tierra, etc.

Si hablamos de que el aire que compone la atmósfera es una mezcla de gases y su proporción es 78% de nitrógeno, 21% de oxígeno y 1% de otros gases, si lo expresamos como fracción serían 78/100, 21/100 y 1/100 respectivamente.

 

Factorial de un número y triangulo numérico

El factorial de un número consiste en multiplicar, en serie desde el 1 hasta el número correspondiente.
Su formula es :  n!
Ejemplo:
3! = 1 x 2 x 3 = 6
Es útil para hallar por ejemplo si tres amigos  van al cine las formas diferentes en que se puedan sentarse que seria 6 en este caso, si son 4 seria 24 ( 4! ).


El triángulo de Tartaglia nos sirve para saber los grupos que se puede hacer con  diferentes personas por ejemplo:
8 alumnos para realizar un trabajo en grupo de tres ¿cuantos grupos diferentes se puede hacer?
El triangulo númerico se realiza asi:
- El vertice o fila 0 es el 1.
- A continuación se pondria dos 1 en la fila 1.
- En todas las filas en los extremos se encuentra el 1, y los números que hay en el centro son los resultados de sumar de dos en dos la fila de arriba.
- Se van numerando las filas desde arriba sin tener en cuenta el vértice.
- Contamos la fila 3 porque van a ser grupos de 3 alumnos, y tenemos en cuenta la fila 8, porque tenemos 8 alumnos.
- Se traza una diagonal desde la fila 3 hasta la fila 8, en el punto donde se cruzan, seran el número de grupos diferentes que podemos hacer.
- Ejemplo: La solución es 56 grupos diferentes.

1

1  1

1   2   1

                                                   1   3   3   1                                          Fila 3
       1   4   6   4   1       

1   5   10   10   5   1

1   6   15   20   15   6   1

1   7   21   35   35   21   7   1

                                 1   8   28   56   70   56   28   8   1                        Fila 8

Algoritmo

Los algoritmos son los pasos que hay que seguir para conseguir o hallar una cosa en concreto.
Existen diferentes algoritmos, unos de esos tipos de algoritmo son:
- Algoritmos matemáticos.
Un ejemplo de algoritmo matemático es multiplicar números enteros. Para multiplicar números enteros se sigue estos pasos:
Paso 1: Multiplicar el valor absoluto de los factores.
Paso 2: Añadirle el signo según los factores:
             (+a) x (+b) = (+c)
             (-a) x (-b) = (+c)
             (+a) x (-b) = (-c)
             (-a) x (+b) = (-c)

- Algoritmos no matemáticos.
Un ejemplo de algoritmo no matemático es la forma de realizar una solicitud o instancia.
Paso 1: Detallar Datos Personales que incluyan Nombre y Apellidos, D.N.I., Dirección, Teléfono de contacto
Paso 2: Exposición del problema o  situación.
Paso 3: Detallar el objeto o cosa que se solicita.
Paso 4: Fecha y firma.
Paso 5: Persona, Autoridad u Organismo a que se dirige.